晶体热容

Dulong-Petit定律

$C_{V}=\frac{d \overline{E}}{dT}=3Nk_{B} \approx 6 \quad cal \cdot mol^{-1} \cdot K^{-1}$

Einstein模型

$C_{V}=3Nk_{B} \left( \frac{\Theta_{E}}{T} \right)^{2} \frac{exp\left( \frac{\Theta_{E}}{T} \right)} {\left[ exp\left( \frac{\Theta_{E}}{T} \right)-1 \right]^{2}}$

其中，Einstein温度$\Theta_{E}=\frac{\hbar \omega_{0}}{k_{B}}$.

Debye模型

$C_{V}= 9R \left( \frac{T}{\Theta_{D}} \right)^{3} \int_{0}^{\frac{\Theta_{D}}{T}} \frac{\xi^{4}e^{\xi}}{(e^{\xi}-1)^{2}} d\xi$

其中，Debye温度$\Theta_{D}=\frac{\hbar \omega_{m}}{k_{B}}$.

热膨胀

由于原子势能的非简谐性，导致温度改变后，振子的振动平衡位置发生改变，从而使得晶格常数发生变化。在宏观上便体现为“热膨胀”。

$Gr\ddot{u}neisen$参数描述了振动频率改变对体积膨胀的影响，即温度对体积膨胀会产生影响（温度改变振动频率，振动频率通过该参数影响体积）

$\gamma = -\frac{d ln \omega}{d ln V}$

$Gr\ddot{u}neisen$定律

$\alpha = \frac{\gamma}{K_{0}} \frac{C_{V}}{V}$

热传导

在晶体中，热可以通过晶格振动进行传导，也即通过声子运动进行传导。

在分子热力学中，有分子自由程

$Z=C_{V} \nu l$

类似地，在晶体中有声子自由程

$Z=\frac{1}{3}C_{V} \nu_{0} \lambda$